[기계공학실험]2차원 열전도

실험 목적

한 면이 가열되고 다른 3면이 등온 단열된 2차원 평면 전도체에서 각 그리드 점에서 실험적으로 온도를 측정하고 이 데이터와 그리드를 생성하여 계산된 결과를 비교하여 실험값과 해석결과가 어느 정도의 차이가 있는가를 비교하고 그 차이가 나는 원인을 분석해 봄으로써 열전도의 기본원리와 수치해석에 대한 능력을 배양함에 그 의의를 둔다.

실험 이론 및 원리

1. 실험 배경

		dx
dy			(m,n+1)
(m-1,n)			(m,n)   (m, n-1)	(m+1,n)

1) 내부에너지 발생이 있는 2차원 정상 열전도 방정식은 다음과 같다.

2) 절점 (m,n)에서 온도의 2계 도함수는 다음 식으로 나타내진다.

3) 점(m,n)에서의 온도 계산은 다음 식으로 나타내진다.

이 식들을 이용하여 각 절점에서의 정상상태의 온도를 계산하기 위해서는 테일러의 급수전개법(Taylor series expansion)과 가우스의 소거법(Gauss elimination method)을 사용하며 프로그램으로 Fortran Language(WF 77.MS-Fortran)를 사용한다. 계산결과의 출력을 위해서는 Grapher S/W를 사용한다.

 

실험 방법

1. 실험 과정

1) 히터가 부착된 면에 전원을 이용하여 열원을 공급함으로서 한쪽 면은 가열되고 나머지 세면은 등온 조건을 가지게 하여 어느 정도 시간이 지난 뒤에 정상상태에 이르면 각점에서 온도를 측정한다.

		B	A
	C	2	1	2
	D	4	3	4
	E	6	5	6
		F	G

 

2) 시편에 위와 같이 그리드 점을 표시한다.

3) 시편의 한면을 히터에 놓이게 하고 나머지 세면의 등온조건을 만족시키기 위하여 세라믹 방열판을 부착한다.

4) 실험시작 시작시간 15:00에 히터를 가열시키기 시작하여 등온조건을 만족 시킬때까지 가열한다.

5) 시편이 히터에 의하여 등온조건을 만족하는 지점에 도달하게되면 B - A - C - 2 - 1 - D - 4 - 3 - E - 6 - 5 - F - G 순서로 각 그리드점의 온도를 측정한다.

6) 측정된 온도를 통하여 1,2,3,4,5,6 점의 온도를 행렬식을 통하여 계산한 이론값과 실제 측정한 값의 편차를 계산한다.

 

실험 결과

1. 결과 분석

1) 실험값

구 분	1단계 온도(℃)	3단계 온도(℃)
Grid point B	25.8	41.9
Grid point A	26.0	42.6
Grid point C	27.6	44.7
Grid point 2	28.0	45.8
Grid point 1	28.2	46.5
Grid point D	30.1	50.3
Grid point 4	30.7	51.8
Grid point 3	31.1	52.5
Grid point E	34.3	58.3
Grid point 6	34.9	59.7
Grid point 5	35.6	60.5
Grid point F	40.0	69.0
Grid point G	40.9	71.1

Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 – 4Tm,n = 0

2T2 + TA + T3 – 4T1 = 0 ……… ①

2T1 + TC + TB – T4 - 4T2 = 0 ……… ②

2T4 + T1 + T5 – 4T3 = 0 ……… ③

T3 + TD + T2 + T6 – 4T4 = 0 ……… ④

2T6 + T3 + TG - 4T5 = 0 ……… ⑤

T5 + TE + T4 + TF - 4T6 = 0 ……… ⑥

 

위 식을 이용하여 1,2,3,4,5,6 그리드 점의 실험값과 이론값을 비교하고, 오차율을 계산한다.

2) 이론값

구 분	1단계 온도(℃)	3단계 온도(℃)	오차율(%)	오차율(%)
Grid point B	25.8	41.9	-	-
Grid point A	26.0	42.6	-	-
Grid point C	27.6	44.7	-	-
Grid point 2	28.3652	46.6679	1.2874	1.8597
Grid point 1	28.6420	47.3652	1.5431	1.8267
Grid point D	30.1	50.3	-	-
Grid point 4	31.4187	52.7062	2.2875	1.7193
Grid point 3	31.8375	53.5250	2.3165	1.9150
Grid point E	34.3	58.3	-	-
Grid point 6	35.3723	60.3321	1.3352	1.0477
Grid point 5	35.8705	61.3223	0.7541	1.3409
Grid point F	40.0	69.0	-	-
Grid point G	40.9	71.1	-	-

 

3) MATLAB을 이용한 행렬 계산

1단계	프로그램	A=[-4,2,1,0,0,0; 1,-4,0,1,0,0; 1,0,-4,2,1,0; 0,1,1,-4,0,1; 0,0,1,0,-4,2;0,0,0,1,1,-4] inv(A) B=[-26.0; -53.4; 0; -30.1; -40.9; -74.2] inv(A)*B
	결과	A =   -4 2 1 0 0 0 1 -4 0 1 0 0 1 0 -4 2 1 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 1 0 -4 2 0 0 0 1 1 -4   ans =   -0.3304 -0.1964 -0.1250 -0.1250 -0.0446 -0.0536 -0.0982 -0.3304 -0.0625 -0.1250 -0.0268 -0.0446 -0.1250 -0.1250 -0.3750 -0.2500 -0.1250 -0.1250 -0.0625 -0.1250 -0.1250 -0.3750 -0.0625 -0.1250 -0.0446 -0.0536 -0.1250 -0.1250 -0.3304 -0.1964 -0.0268 -0.0446 -0.0625 -0.1250 -0.0982 -0.3304   B =   -26.0000 -53.4000 0 -30.1000 -40.9000 -74.2000   ans =   28.6420 28.3652 31.8375 31.4187 35.8705 35.3723

 

3단계	프로그램	A=[-4,2,1,0,0,0; 1,-4,0,1,0,0; 1,0,-4,2,1,0; 0,1,1,-4,0,1; 0,0,1,0,-4,2;0,0,0,1,1,-4] inv(A) B=[-42.6; -86.6; 0; -50.3; -71.1; -127.3] inv(A)*B
	결과	A =   -4 2 1 0 0 0 1 -4 0 1 0 0 1 0 -4 2 1 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 1 0 -4 2 0 0 0 1 1 -4   ans =   -0.3304 -0.1964 -0.1250 -0.1250 -0.0446 -0.0536 -0.0982 -0.3304 -0.0625 -0.1250 -0.0268 -0.0446 -0.1250 -0.1250 -0.3750 -0.2500 -0.1250 -0.1250 -0.0625 -0.1250 -0.1250 -0.3750 -0.0625 -0.1250 -0.0446 -0.0536 -0.1250 -0.1250 -0.3304 -0.1964 -0.0268 -0.0446 -0.0625 -0.1250 -0.0982 -0.3304   B =   -42.6000 -86.6000 0 -50.3000 -71.1000 -127.3000   ans =   47.3652 46.6679 53.5250 52.7062 61.3223 60.3321

토의 사항

1. 실험 고찰

본 2차원 열전도 실험은 과정은 매우 간단하였지만, 결과값을 도출하는데 매우 애를 먹었다. 위의 실험 결과 데이터를 보게 되면 총 두 단계로 실험을 나눠서 하였는데, 히터의 세기를 1단계와, 3단계로 두고 각각 실험을 하였다.

시편을 히터로 1시간 가열 후 컴퓨터에 연결된 온도 센서를 이용하여 9개의 그리드 점을 빠른시간내에 측정할 계획이었으나, 장비를 사용할 수 없어 한 점씩 각각 접촉시켜 온도를 측정하는 방식을 사용하게 되었다. 이 때문에 각 점마다 오차가 크게 발생하게 되었는데, 그 이유는 완전히 정상상태인지 모르는 상태에서 한점을 측정 후 다음 점으로 이동하게되는 시간동안 시편은 계속 해서 가열이 되고 있었기 때문이다.

이 때문에 미리 실험 전에 사전실험을 통하여 오차를 줄일 수 있는 방법을 고안하셨다. B-A-C-2-1-D-4-3-E--6-5-F-G 순으로 그리드 점의 온도를 측정하게되면 윗면에 있을수록 열전도가 아무래도 적을 것이고, 가장 낮은 점의 온도를 측정하고 그다음은 조금 더 높은 온도를 측정하게 되어 온도측정기의 접촉면이 식는데 까지 기다리는데서 오는 오차를 잡을 수 있기 때문이다.

하지만 또 다른 오차를 발생하는 요인이 있었다. 가정에서는 3면이 등온상태이고 히터와 접촉하는 면만 가열되어 정상상태에 이른다고 말하고 있지만, 3면을 등온상태로 만들기란 여간쉬운일이 아니다. 조교님께서 고안해 내신 세라믹 방열판으로 3면을 둘러쌌고, 히터판에서 시편으로 바로 전도되는 열 이외에 공기를 통하여 열이 전도되는 것도 막기위하여 히터와 시편의 접촉면을 제외한 히터판을 방열판으로 막았다.

크게 오차를 발생시키는 위의 두가지 요인을 사전 실험을 통하여 보안하므로써 실험 결과 데이터에서 보는 것과 같이 오차율은 3%미만을 기록하면 거의 정확한 실험 값을 얻을 수 있었다.

정확한 실험을 한 후 부터는 이차원 정상 상태 열 전도 방정식을 통하여 실험값을 도출하는데 큰 애를 먹었다. MATLAB을 통하여 먼저 이론값을 도출하는데는 큰 어려움이 없었지만 , 가우스 소거법을 이용하여 직접 미지수값을 도출하는데 계속하여 잘 못된 계산이 되어 큰애를 먹었다. Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 – 4Tm,n = 0를 이용하여 A~G까지 실험값을 상수로 넣고, T1~T6을 미지수로 넣으면 총 6개의 미지수와 6개의 방정식이 나온다.

2T2 + TA + T3 – 4T1 = 0 ……… ①

2T1 + TC + TB – T4 - 4T2 = 0 ……… ②

2T4 + T1 + T5 – 4T3 = 0 ……… ③

T3 + TD + T2 + T6 – 4T4 = 0 ……… ④

2T6 + T3 + TG - 4T5 = 0 ……… ⑤

T5 + TE + T4 + TF - 4T6 = 0 ……… ⑥

이를 MATRIX형태로 나타내면 

형태가 된다.

1단계와 3단계로 변화시키면서 실험한 데이터값을 넣고 가우스 소거법을 사용하면 T1~T6 값이 나오게 된다. 기계공학실험 첫 실험 보고서를 쓰면서 많은 난관에 봉착했지만, 심혈을 기울여 여러 가지 난관을 넘어서기 위해 MATLAB, 행렬식을 공부하게 되어 매우 유익한 실험이 되었다.