[일반물리학실험]용수철의 조화운동

실험 목적

용수철에 대한 후크(Hooke)의 법칙과 용수철에 매달린 추의 질량과 진동주기와의 관계를 알아보고, 용수철 상수값을 확인한다.

실험 이론 및 원리

1. 실험 배경

탄성한계 내에서 용수철에 가해준 힘 F는 용수철의 변위에 비례한다.

즉,

 

F=kx … ①

 

로 나타나며, 이를 후크의 법칙(Hooke's law)이라 한다. 여기서 k는 용수철 상수로 용수철을 단위길이 늘이거나 압축하는데 필요한 힘의 크기가 된다.

 

그림 (a)에서 용수철 끝에 매단 질량 m인 추에 작용하는 중력은 후크의 법칙에 의해 용수철이 평형을 이룰 수 있는 위치 O까지 늘어나게 한다. 여기에 추가로 추를 더 달아 질량을 m'이라하면 스프링을 잡아당기는 중력이 더 커졌으므로 스프링은 x만큼 더 늘어나게 되어 그림 (b)와 같이 O'의 위치에서 평형을 이루게 된다.

 

스프링에 메단 추의 질량 변화

 

이런 식으로 추를 증가시킬 때 마다 용수철은 새로운 평형점을 찾게 되며, 이들 사이의 선형적인 관계가 성립하는 구간에서의 비례상수를 용수철 상수라 한다. 따라서 선형구간 내에서 매단 추의 질량을 변화시켰을 때 용수철이 늘어나는 길이를 측정하게 되면 그 용수철의 용수철 상수값을 알아낼 수 있다.

 

이번에는 그림 (a)처럼 질량 m인 추가 매달려 평형상태 O에 있는 스프링을 그림 (c)와 같이 O'까지 거리 x만큼 강제로 늘였다. 이때 용수철을 늘이는데 필요한 힘은 kx이다. 이 힘은 추에 가해지는 중력과 용수철의 복원력 사이에 불균형을 가져온다. 따라서 용수철이 제자리로 돌아가려는 복원력은 매달린 추에 가속도 a를 일으킬 것이며 뉴턴의 운동 제2 법칙에 의하여

 

-kx = M'a

a = -kx/M … ②

 

로 놓을 수 있다. 힘 kx는 변위 x에 대하여 반대방향이므로 음의 부호를 붙인다. 질량 M'은 매단 추의 질량 m에다 용수철의 질량 Ms가 운동에 미치는 영향만큼을 더해 준 것이다. 식 ②에서 가속도 a = d2x/dt2 임을 고려하면, 식 ②는

 

d2x/dt2 + k/M·x = 0

 

이다. 이것은 단순조화운동(simple harmonic motion)의 방정식이며, 이 방정식의 일반해는

 

x = xmcos(ωt+δ)

 

로 주어진다. 여기서, xm과 δ는 초기조건에 관계되고, 각진동수이므로

T2 = (4π2/k)M'

 

이다. 즉 조화운동의 주기 T의 제곱은 질량 M'에 비례한다. 여기서 M' = m+fMs라 놓으면

 

T2 = (4π2/k)(m+fMs)

 

가 되고, 여기서 직선의 기울기를 이용하면 용수철 상수를 구할 수 있고, T2축 절편으로부터 용수철의 질량 Ms가 조화운동에 미치는 영향인자값 f를 구할 수 있다.

실험 기구 및 장치

1. 실험 재료

1) 스탠드, 용수철, 미터자, 추 세트, 초시계, 전자저울

 

실험 방법

실험 1. 용수철의 늘어난 길이 측정

1) 그림에서처럼 미터자가 부착된 스탠드에 용수철을 매달고, 보조추 m0를 걸어준다.

2) 이때의 용수철의 끝점의 위치를 x0로 하고, 보조추 m0에 추 mi를 첨가해 가면서 mi의 증가에 따른 용수철의 늘어난 길이 xi를 측정한다.

3) m(=mi+m0)의 변화에 따른 x(=xi+x0) 의 변화를 그래프로 그리고 최적 직선의 기울기를 구한다.

4) 후크의 법칙 x=mg/k와 비교할 때 직선의 기울기는 g/k가 된다. 따라서 중력가속도 g 를 기울기 값으로 나누어주면 용수철상수 k를 구할 수 있다.

 

실험 2. 진동주기 측정

1) 보조추 m을 제거하고 용수철에 적당량의 추를 매달아 아래 방향으로 살짝 끌어당겨 진 동시킨다. 용수철을 지나치게 많이 잡아당길 경우 추가 날아가게 되어 매우 위험하므로 평형상태에서 1~2㎝정도만 살짝 당긴다.

2) 추가 100회 진동하는데 걸리는 시간 t를 측정하여 주기 T(=t/100)를 구한다. 진동횟수 는 실험자가 판단하여 조절할 수 있으나 횟수가 많을수록 정밀도가 높아짐을 기억하라.

3) 추의 질량을 증가시켜 같은 방법으로 추의 질량 m의 변화에 따른 진동주기 T를 구한 다.

4) 질량 m대 T2의 그래프를 그려 최적 직선을 찾고, 그 직선의 기울기와 절편값을 구한 다. 여기서 직선의 기울기는 4π2/k이므로 용수철 상수를 구하고, T2축 절편은 Ms4π2f/k이므로 이 값으로부터 용수철의 질량 Ms가 조화운동에 미치는 영향인자값 f 를 구해보라. 이때 용수철의 질량은 저울로 측정한다.

 

실험 결과 및 고찰

1. 측정값

실험 1. 용수철의 늘어난 길이 측정

추의 질량(g)	100	200	300	400	500
변위(㎝)	5	10	15.3	20.1	24.9

 

실험 2. 진동주기 측정

용수철 질량 : 20.80g

추의 질량(g)	100g	200g	300g	400g	500g
100회 진동 시간 t(s)	45	71	87	100	113
진동주기 T(s)	0.45	0.71	0.87	1.00	1.13

직선의 기울기 : 2.67

2. 결과 분석

실험 1.

직선의 기울기로부터 얻어진 용수철 상수 k1

F=kx ⇒ mg=kx를 이용

k1 = mg/x = 0.495×9.8/0.25 = 19.40

 

실험 2.

직선의 기울기로부터 얻어진 용수철 상수 k2

T2 = 4π2/k(m+δMs)에서의 기울기 : 4π2/k = 2.67

k2 = 4π2/2.67 = 14.79

 

절편으로부터 얻어진 영향인자 f

T2 = 4π2/k(m+fMs) ⇒ f=(T2k/4π2-m)1/Ms

f = ((12×14.79)/4π2-0.4)1/0.021 = -1.21

3. 실험 고찰

1) 용수철 상수의 %차이

오차(%) = |k1-k2|/k1×100(%) = |19.40-14.79|/19.40×100 = 23.76%

 

2) 오차의 이유

용수철이 100회 진동하는 동안 초시계로 세는 시간의 오차

정확히 100회 진동했는지 아닌지 정확하지 않음

단위 환산에서의 계산착오가 있을 수 있음