[일반물리학실험]기주공명에 의한 공기 중의 음속도측정 1부

실험 목적

알고 있는 진동수를 가진 소리굽쇠의 진동으로 기주를 공명시켜 그 소리의 파장을 측정함으로써 공기 중의 음속을 측정한다.

실험 이론 및 원리

1. 실험 소개

음파(音波)가 매질을 통해서 전파되는 속도를 음속이라고 한다. 공기 중의 음속은 0℃, 1기압일 때 331.5㎧ 로 온도가 1℃ 오를 때마다 약 0.6㎧ 씩 증가한다. 이런 음속을 기주공명을 통하여 공지중의 음속을 측정할수 있도록 한다.

 

2. 실험 배경

진동수 ƒ인 음파의 공기 중에서 파장을 λ라 하면, 이 음파가 공기 중을 전파하는 속도 υ는

υ= ƒλ

진동수가 알려진 음차를 진동시켜서 한쪽 끝이 막힌 유리관의 열린 쪽 관 끝에 접근시키면 기주의 길이가 어느 적당한 값을 가질 때에 공명을 일으킨다. 이 현상은 음차에서 관 속으로 전파해 들어가는 입사파와 관끝 막힌 곳에서 입구 쪽으로 반사해 나오는 반사파가 서로 간섭하여 그림 1과 같은 정상파를 이룰 때 나타난다.

그림 1

 

따라서, 음차가 공기 중에서 발생하는 음의 파장 λ는

λ= 2(Ln+1-Ln)

식 υ= ƒλυ= 2ƒ(Ln+1-Ln) = ƒ(Ln+2-Ln)관 끝에서 첫 번째 공명위치 L까지 λ/4에 가까우나, 이 값보다 조금 작다. 이는 첫 번째 정상파의 배(복부)가 관의 모양, 크기 등에 따라서 관끝보다 조금 위쪽에 위치한다는 것을 의미하며, 원주형의 관인 경우에는 관끝에서부터 복부까지 거리 δ와 관의 내반경 γ와의 비(끝보정), 즉 δ/γ는 약 0.55~0.85 이다.

 

공기중의 음속은 또한 일반적인 유체의 성질로서도 구해지며, 체적, 체적탄성율이 κ, 밀도 ρ인 경우에의 관계가 있으며, 이를 열역학의 기체법칙으로 전개하면υ=υ0(1+ｔ℃/273)1/2 여기서, υ0는 0℃하의 음속으로 약 331.48 m/sec이다.

 

3. 파동

파의 높은곳을 마루라 하고 낮은곳을 골이라고 한다. 진폭은 정상(또는 평형)위치에서 마루까지의 높이 또는 골까지의 깊이이다. 마루에서 골까지 한번 움직이면 진폭은 두배가 된다. 연속된 두 마루사이의 거리를 파장 라고 하면, 파장은 파위의 임의의 연속적인 두 동등점까지의 거리와도 같다. 진동수 f는 단위시간당 어떤점을 지나는 마루의 수 도는 완전한 사이클의 수 이다.

마루

골

물론 주기 T는 1/f이며, 공간상의 한점에서 연속적인 두 마루가 지나가는데 걸리는 시간이다. 파속 v는 파동의 마루(또는 파의 어떤 다른점)가 움직이는 속도로서, 파속은 매질 내 입자의 속도와 구별되어야 한다. 파마루는 한주기 T동안 한파장 λ의 거리를 진행한다. 그러므로 파속 v는 λ /T와 같다.

 

x 방향으로 진행하는 파동의 일반적인 표현식은 시간 t, 위치 x 에서의 떨림의 크기가

y(x,t) = ymsin(kx-ωt)···(1)

로 쓸 수 있으며, 이때 ym 은 진동의 크기 즉, 진폭이고 ω 는 각 떨기 수, 그리고 k 는 파수이다. 또, 각 떨기 수와 파수는 떨기 수 f 와 파장 λ에 각각

ω=2πf···(2)

k=2π/λ···(3)

으로 연관된다.

파동의 속력 v 는 식(1)에서 사인(sine)함수의 위상인 (kx-ωt) 가 일정한 위치 x 가 시간 t 에 따라서 변하는 율이므로

ʋ = x/t = ω/k fλ···(4)

이다. 

엄밀하게는 이 속력을 파동의 위상 속도(phase velocity)라고 부른다. 한편 파동에 의해 정보를 전달하기 위해서는 일정한 떨기 너비와 떨기수의 단순 파동으로는 불가능하고, 여러 개의 떨기수의 단순 파동들이 무리 진 펄스(pulse)와 같은 파동의 무리가 필요하다. 이 파동의 무리가 전달되는 속도를 무리 속도(군속도, group velocity)라고 하며, 무리 속력은

vg = dω/dk = ʋ + kdʋ/dk = ʋ - λdʋ/dλ···(5)

이다.

식(4)에서 각떨기수 ω와 파수 k 의 비 즉, 위상 속력이 떨기수나 파장에 관계없이 일정한 매질을 비분산매질(nondispersive medium) 이라고 부르며 비분산매질에서는 ʋg = ʋ이다. 그러나 매질 중에는 위상 속력이 파장에 의존하는 경우가 있는데 (예: 프리즘을 통과하는 빛), 이를 분산매질(dispersive medium)이라고 부르며 이 때는 ʋg≠ʋ이 된다. 분산 매질에서는 여러 가지 파장 성분이 섞여 있는 무리진 파의 모양이 파의 진행에 따라서 변화된다. 이제 두 결맞는 파

y1(x,t) = ymsin(kx-ωt)···(6)

와

y2(x,t) = ymsin(kx-ωt+φ)···(7)

의 합성(superposition)

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)

= ymsin(kx-ωt) + ymsin(kx-ωt+φ)

= 2ymcos(φ/2)sin(kx-ωt+φ/2)

 

Ymsin(kx-ωt+φ/2)···(8)

 

을 생각한다. 여기서는 편의상 두 파의 떨기 수, 파장과 진폭이 같고 진행 방향도 같은 경우에 국한하여 생각하며, 두 파의 위상 차(phase difference)는 φ이다. 식(8)의 합성 파는 원래의 파와 같은 떨기 수와 파장을 가지며, 그 떨기 너비(amplitude)는 위상 차 φ에

Ym = 2ymcos(φ/2)···(9)

로 의존한다. 즉, 간섭 현상이 나타난다.

만약 반사된 파와의 간섭을 생각하면 식(8)은

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)

= ymsin(kx-ωt) + ymsin(kx-ωt+φ) = 2ymcos(ωt+φ/2)sin(kxφ/2) (8')

가 되어 진행하지 않는 서 있는 파동(정상 파동, standing wave)이 된다.

이 경우 kx + φ/2 = nπ (n=0,1,2,···)인 곳은 항상 어두운(y=0) 곳이 되며, kx + φ/2 = (n+½)π (n=0,1,2,···) 인 곳은 떨기 너비가 최대인 곳이다. 흔히 먼저의 경우를 마디 (node), 나중의 경우를 배(antinode)라고 부른다. 따라서 마디와 마디 사이의 거리 또는 배와 배 사이의 거리는 Δx=π/k 가 되어 원래 파동의 파장 λ 의 ½이다. 이 서 있는 파동은 섬광의 떨기 수가 파동의 떨기 수와 차이가 나더라도 떨기 너비의 최대와 최소가 일어나는 위치가 변하지 않는다.

이제 거리 d 만큼 떨어져 있는 두 결맞는 파동 샘으로부터의 파의 간섭을 생각하자. 두 파동 샘을 점 파동 샘으로 간주하면 발생한 두 수면파는 원형파가 된다. 그림에서와 같이 두 파동 샘의 중심으로부터 거리 r, 각도가 θ인 곳에서의 파의 간섭은 두 파동 샘으로부터의 경로 차이(path difference)에 의해서 결정된다. 즉, 경로 차이에 따른 위상 차 φ가 2nπ (n 은 정수) 일 때 식(9)로부터 합성 파의 크기가 최대가 된다. 두 파의 경로 차이는 각도 θ가 크지 않은 경우

r1-r2 = dsinθ···(10)

이므로 합성 파에 밝은 무늬(배)가 생기는 조건은

dsinθ = nλ (n = 0,1,2,3, .....)···(11)

이다. 한편, 합성파의 크기가 최소가 되는 곳(마디, 빛을 쪼이면 수면파의 볼록렌즈 효과를 기대할 수 없으므로 상대적으로 어둡게 보이는 곳)은 경로 차이에 따른 위상차 φ가 (2n+1)π (n 은 정수) 일 때이고,

dsinθ = (n+½)λ(n = 0,1,2,3, .....)···(12)

이다.

 

평면파를 거리 d 만큼 떨어진 두 구멍(구멍 크기 ~ 파장)을 통해서 통과시키는 경우도 위와 같이 해석할 수 있다.

4. 세로파(종파)

파동이 진행하여 나아가는 방향과 매질의 진동 방향이 같을 때 이러한 파동을 종파라고 부른다.음파 또한 종파이며 이 때의 매질은 공기이다. 공기의 밀도가 높고 낮은 정도가 공간을 따라 이동하여 귀의 고막에 전달되는 과정이 우리가 얘기하는 소리의 전달이다. 

이 과정은 용수철의촘촘한 부분과 성근 부분이 용수철을 따라 이동하는 것과 비교적 유사한 형태를 가지며 공기입자의 소함과 밀함의 정도가 전달되어 귀의 고막에 음을 전달하므로 공기가 없는 진공 속에서는 소리가 전달되지 않는다. 사람이 들을 수는 없지만 박쥐가 장애물을 피하기 위해 발생시켜 물체에서 부딪혀 되돌아오는 그 반사파를 이용하는 초음파 또한 음파의 일종이므로 역시종파의 일종이다.

자연에서 관찰할 수 있는 것 중 음파 외의 종파로는 지진파 중 P파가 있는데 지구 내부를 따라 7~8㎞의 속력으로 전달된다. 지진파 중 S파와는 달리 파의 방향과 진동 방향이 같기 때문에 고체, 액체, 기체를 모두 다 통과할 수 있다.(액체나 기체일 경우 유동성 때문에 횡파는 통과할 수가 없다.)

횡파와 종파

 

5. 가로파(횡파)

파동이 진행하여 나아가는 방향과 매질의 진동 방향이 수직을 이룰 때 이러한 파동을 횡파라고 부른다 .긴 용수철을 용수철의 길이 방향과 수직인 방향으로 흔들어 보자. 아래 위로 흔들리는 출렁거림이 용수철의 길이 방향을 따라 전달이 되는 것을 눈으로 확인할 수 있을 것이다. 이처럼 파동의 전달 방향과 진동방향, 즉 용수철의 출렁거림이 수직인 파동을 횡파라고 부른다. 일상 생활에서 볼 수 있는 횡파의 종류로는 기타 줄과 같이 현악기의 줄을 잡아당겼다 놓았을 때 생기는 파동이나 호수에 돌을 던졌을 때 퍼져나가는 물결파는 횡파의 일종이라 볼수있다. 

물결 위에 나뭇잎을 놓으면 진동으로 인해 나뭇잎이 아래 위로 흔들리는 것을 관찰할 수가 있고 원형의 물결은 돌이 떨어진 점을 중심으로 점점 더 큰 원을 그리며 호수 가장자리로 퍼져나가는 것을 볼 수 있다. 물결의 진동과 파의 진행 방향이 수직을 이루므로 물결파는 횡파이다. 기타 줄은 줄의 길이와 수직인 방향으로 아래 위로 떨리고 파동은 줄 방향으로 진행하므로 역시 횡파의 한 종류이다.

횡파의 예로는 빛과 라디오 파, x-ray 같은 전자기파도 전자기 장의 세기 변화가 파의 진행방향과 수직으로 일어나므로 횡파에 속한다.

지진파 중 S파의 경우 매질을 아래 위로 흔들면서 전달되어 나가기 때문에 역시 횡파이며 고체일 경우 상하운동이 전달이 되지만 액체나 기체를 만날 경우 매질을 아래위로 흔드는 힘이 분산이 되어 더 이상 전달이 되지 않는다. 전달속도는 약 4Km/s 이며 횡파의 특성상 아래위 방향으로 흔들림이 많기 때문에 종파인 P파에 비해 더 많은 피해를 주게 된다.

 

6. 단순조화파(單純調和波)

변위를 단일 개의 정현함수(sin function)으로 기술할 수 있을 경우의 파동.

7. 파두(波頭,wavefront)

어느 주어진 시간에서 같은 모양으로 운동하는 매질내의 모든 입자를 연결하는 표면(表面)(파두 표면이 가지는 형태에 대응해서 예를 들어.파동이 구면파 또는 평면파라고 말함.)

 

8. 간섭

간섭은 파동의 주요한 특질이다. 간섭(interference)은 파동이 가지고 있는 특별한 성질의 하나로서 둘 이상의 동일한 진동수의 파동이 진행방향이나 위상을 달라하면서 공간에 전파될 때 위치에 따라 파동이 커져 나타나거나 줄어 나타나는 것을 말한다. 이때 합성된 파동의 세기가 각각의 파동의 세기를 합한 것보다 더 커지는 것을 보강간섭, 줄어드는 것을 소멸간섭(상쇄간섭)이라 한다. 각각 파동이 시간에 따라 변함없이 일정하게 주어진다면 간섭된 결과도 시간에 따라 변하지 않고 보강 및 소멸간섭의 분포가 공간에 일정한 형태를 유지할 것이다. 

이렇게 파동이 공존하는 공간에 간섭된 결과 만들게 되는 특이한 세기의 분포 모양을 간섭무늬라고 한다. 무늬라고 부르게 된 것은 주로 빛에서 밝고 어두운 모양이 빛의 파장에 비하여 훨씬 큰 규모로 나타나서 눈으로 보기에 얼룩무늬를 하고 있기 때문이다.

이러한 간섭무늬가 나타나는 근본적인 원인은 파동이 중첩의 원리를 만족하고, 이에 의해 같은 진동수의 여러 파가 합성되더라도 그 결과는 역시 같은 진동수의 파동으로 진폭이 서로의 상대적인 위상에 따라 예민하게 변하기 때문이다. 즉 공간의 각 지점에 따라 각각의 파동의 위상값이 변하기 때문에 합성된 파동의 진폭이나 세기도 지점에 따라서 다르게 나타난 결과가 바로 간섭무늬이다.

9. 회절

회절(Diffraction)이란 파동이 장애물 뒤쪽으로 돌아 들어가는 현상. 입자가 아닌 파동에서만 나타나는 성질이다. 입자의 진행경로에 틈이 있는 장애물이 있으면 입자는 그 틈을 지나 직선으로 진행한다. 이와 달리 파동의 경우, 틈을 지나는 직선 경로뿐 아니라 그 주변의 일정 범위까지 돌아 들어간다. 이처럼 파동이 입자로서는 도저히 갈 수 없는 영역에 휘어져 도달하는 현상이 회절이다. 물결파를 좁은 틈으로 통과시켜 보면 회절을 쉽게 관찰할 수 있다.

회절의 정도는 틈의 크기와 파장에 영향을 받는다. 틈의 크기에 비해 파장이 길수록 회절이 더 많이 일어난다. 즉, 파장이 일정할 때 틈의 크기가 작을수록 회절이 잘 일어나, 직선의 파면을 가졌던 물결이 좁은 틈을 지나면 반원에 가까운 모양으로 퍼진다. 회절의 백과사전적인 용어의 의미는 "파동이 장애물의 뒤쪽에 기하학적으로 결정된 그림자를 만들지 않고 그림자에 해당하는 부분까지 돌아 들어가는 현상으로 예를 들면 벽 뒤쪽에서도 소리가 들리고, 라디오의 전파가 큰 건물의 뒤쪽이나 산 속 계곡에서도 수신되는 것은 이 때문이며, 특히 장애물에 대하여 파장이 긴 파동일수록 이 현상이 뚜렷하다. 

단파나 초단파를 이용하는 텔레비전 방송이 라디오 방송과 달리 산 뒤쪽에서 수신이 잘 안되는 것은, 전파의 파장이 장애물에 비하여 극히 짧아서 수신기를 작동시킬 만큼의 강한 전파가 도달하지 못하기 때문이다. 음파,전파,수면파,광파 등 모든 파동에 공통적으로 나타나며, X선을 비롯하여 전자빔,중성자빔 등도 결정(結晶) 내의 원자에 의한 회절현상을 관찰함으로써 파동성(波動性)을 가진다는 것이 확인되었다."이다.

 

10. 중첩

서로간에 독립해서, 둘 혹은 그 보다도 더 많은 수의 파동이 같은 공간을 거쳐 진행할 수 있다.그리고 주어진 시각에서 임의의 주어진 입자의 변위는 개개의 파동이 그입자에 주는 변위를 합친 것이 된다. 이런 유형의 합산(合算). 정상파는 마디(nodes)라는 변위가 0인 정위치와 배(antinodes)라는 극대의 변위를 가진 위치로 특징지어진다.각각은 반 파장의 거리를 두고 떨어져 있는데, 마디는 이웃하는배에서 λ/4만큼 떨어져 있다.

 

11. 자연진동수(自然振動數,natural frequencies)

실제의 계(系)에 위의 이론을 적용하려고 할 때 줄,오르간 파이프 등등이 유한한 크기를 가지고 있다는 사실에서 가능한 한 정상파의 진동수를 제한한다.이들을 자연진동수라고 한다.

 

12. 공명(共鳴,resonance)

진동계가 그 고유진동수와 같은 진동수를 가진 외력(外力)을 주기적으로 받아 진폭이 뚜렷하게 증가하는 현상을 말한다. 이를 이용하면 세기가 약한 파동을 큰 세기로 증폭시킬 수 있다. 어떤 강제력이 계의 자연진동수중의 하나의 진동수로 계에 작용한다면 계가 비교적 진폭이 큰 공명이라는 조건이 생간다.소리[音]나 보통의 역학적 진동, 전기적 진동 등 모든 진동에 일어나는 현상인데, 이중에서 전기적·기계적 공명일 때는 공진(共振)이라고도 한다. 일반적으로 외부에서 진동시킬 수 있는 힘을 가했을 때 그 고유 진동수와 외부에서의 힘의 진동수가 같으면 그 진동은 심해지고 진폭도 커진다. 또 진동체가 서로 연결되어 있는 경우, 양쪽 진동수가 같으면 공명에 의해서 에너지를 서로 교환하기 쉽게 된다.

예를 들면, 진동수가 같은 소리굽쇠[音叉]를 접근시켜서 한쪽을 때리면 거기에 따라 다른 쪽 소리굽쇠도 울리기 시작하는데, 이것은 공기를 매체(媒體)로 해서 일어나는 소리굽쇠의 공명현상이다. 또 공명상자에서 소리가 강해지고, 동조회로(同調回路)로 특정한 파장의 전파(電波)를 선택적으로 검출할 수 있는 것도 모두 공명에 의한 것이다. 고층건물이나 교량, 기다란 회전체 등에서 공진이 일어나면 큰 이상진동(異常振動)이 생겨 파괴되는 경우도 있다.

공명을 이용하면 약한 힘을 되풀이함으로써 큰 진동을 얻을 수 있는데, 공명이 일어나는 모양은 진동에 대한 저항의 대소에 따라 다르다. 보통 저항이 커서 감쇠하기 쉬운 진동계에서는 공명할 때 진폭이 비교적 적게 증가하지만, 진동체의 고유진동수와 외부 힘의 진동수에 큰 차이가 있어도 공명에 가까운 진동을 한다. 이에 비하여, 저항이 작아서 감쇠하기 어려운 진동계에서는 진동수에 근소한 차이가 있어도 공명시보다 훨씬 작은 진동이 증가하고, 대신 공명시의 진폭은 커진다. 

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