[원자의 구조와 주기성] 원자 내 전자의 상태 - 3부

양자역학에 의한 현대의 원자모델

그러나 전자가 이렇게 퍼져서 존재하는 상태는 단순히 균일하게 펼쳐져 존재하는 것이 아니며, 나름대로의 고유한 방식, 즉 양자역학의 법칙에 따라 분포한다. 

각 전자가 공간에 분포하는 상태는 파동함수라는 수학함수로 나타내어지며, 공간상의 특정 지점에서 전자가 존재하는 확률은 파동함수를 제곱한 값에 해당하게 된다. 

전자는 불연속적인 특정한 에너지 값들만 가질 수 있도록 제한되며 이것의 구체적인 상태는 파동함수로 묘사된다. 이와 같이 전자가 존재할 수 있는 에너지 상태가 특정한 값들만으로 제한되는 것을 ‘양자화 되었다’고 표현한다.

원자 오비탈의 개념

현대의 원자모델에서 원자 내에 존재하는 한 전자의 상태를 묘사하는 파동함수를 원자 오비탈이라고 한다. 그러나 이 함수 자체는 복소수를 포함하는 복잡한 수학 함수이기 때문에 감각적으로 이해하기 쉽지 않다. 

따라서 보통은 원자오비탈의 제곱에 의하여 표시되는 전자의 확률밀도 함수를 2차원 또는 3차원으로 표시하며 이것을 오비탈이라고 부르기도 한다. 원자 오비탈 자체는 매우 복잡한 수학 함수이지만 단지 3개의 정수들만으로 각 오비탈을 완전하게 규정할 수 있으며 각 오비탈의 여러 가지 특성들은 이들 3개의 정수 값들을 사용하여 쉽게 묘사할 수 있다. 

이들 3개의 정수 값들은 각각 ‘주 양자수(Principal Quantum Number),’ ‘부 양자수(각-운동량 양자수, Angular Momentum Quantum Number),’ ‘자기 양자수(Magnetic Quantum Number)’라고 부르는데 이들 3가지 양자수 사이에는 양자역학에 의한 일정한 규칙이 있다.

첫 번째 양자수인 ‘주 양자수’는 보통 영문자 n으로 표시하는데, 1부터 시작하여 무한대까지의 어떤 정수 값도 가질 수 있다. 주 양자수는 다음 수식으로 나타내는 바와 같이 에너지 값을 규정하며.

또한 원자핵으로부터 전자 사이의 평균 거리에 해당하는 오비탈의 공간적인 크기는 주 양자수의 제곱에 비례 한다. 

두 번째 양자수는 ‘부 양자수’, 또는 ‘각-운동량 양자수’라고 부르는데, 영문자 l로 표시되며 0부터 시작하여 (n-1)까지의 정수 값들만 가질 수 있다. 

예를 들어 n=3인 경우에는 l 값이 0, 1, 또는 2만 가능하다. 그러나 주양자수와는 달리 부 양자수는 숫자로 쓰는 것 보다는 기호로 표시되는 경우가 더 흔한데, l=1인 경우는 s, l=2인 경우는 p, l=3인 경우는 d, l=4인 경우는 f, l=5인 경우는 g 등의 기호를 대신 사용한다. 예를 들어 n=3이고 인 경우는 3p라고 표시한다. 

부 양자수 l은 오비탈의 제곱으로 묘사되는 전자의 밀도가 3차원 공간에서 어떤 모양이 되는지를 규정한다. 그림 1에 나타낸 것처럼 s-오비탈의 전자 밀도는 구형대칭으로 분포하지만 (그러나 원자핵으로부터의 거리에는 의존한다) p-오비탈, d-오비탈, f-오비탈의 경우에는 각각 그림 2, 3, 4에 나타낸 것처럼 원자핵으로부터의 거리뿐만 아니라 각도에 따라서도 전자 밀도가 달라지며 방향성을 가지게 된다. l 값이 커질수록 방향성이 더 복잡해진다.

그림 1 1s, 2s, 3s 오비탈의 모습

그림 2 2p-오비탈의 모습과 3가지 서로 다른 배향.

그림 3 d-오비탈의 모습과 5가지 서로 다른 배향.

그림 4 f-오비탈의 모습과 7가지 서로 다른 배향.

수소원자의 경우처럼 전자가 하나만 있는 경우에는 l값이 달라져도 n값이 같으면 동일한 에너지 상태에 해당한다. 즉 3s, 3p, 3d 오비탈의 전자들은 전자가 공간상에 분포하는 방식은 제각각 다르지만 주 양자수 n이 동일하기 때문에 그림 5에 나타낸 것처럼 모두 같은 에너지에 해당한다. 이와 같이 전자의 상태를 나타내는 파동함수 즉 오비탈은 서로 다르지만 에너지는 동일한 현상을 ‘두개 이상의 상태가 축퇴되었다(degenerate)'고 표현한다.

그림 5 수소 원자에서 각 오비탈들의 에너지.

그러나 오비탈의 공간적인 크기를 나타내는 평균거리는 n값뿐만 아니라 l값에도 다음 수식에 따라 의존한다.

세 번째 양자수인 ‘자기 양자수’는 영문자 m_l, 또는 간단하게 m으로 표시되는데, -l부터 시작하여 +l까지 1씩 증가하는 모든 값들을 가질 수 있다. 예를 들어 l=2인 경우에 m_l은 -2, -1, 0, +1, +2의 어떤 값도 가질 수 있다.

자기 양자수는 오비탈의 공간적인 배향을 결정한다. 예를 들어 l=1이면 m_l은 -1, 0, +1 세 가지가 가능한데, 이 세 가지 오비탈의 모양은 동일하지만 3차원 공간에서 서로 다른 방향으로 위치한다.

독립된 원자의 경우에는 방향에 대한 특정한 기준은 없기 때문에 자기 양자수는 별다른 의미를 가지지 않는다. 그러나 외부에서 자기장이 작용하거나 혹은 다른 원자나 분자 등이 근접하면 특정 방향은 다른 방향과 구별되기 때문에 부 양자수가 동일하여도 자기 양자수가 다른 오비탈은 서로 다른 역할을 하게 된다. 이러한 이유 때문에 자기 양자수라고 부른다.

어떤 오비탈의 특성은 이러한 세 가지 양자수 값들에 의하여 결정되기 때문에 원자파동 함수의 정확한 수학적인 모습 대신 이들 3가지 양자수 값들만으로도 정성적인 모든 논의가 가능하다.

따라서 오비탈은 이들 세 가지 양자수 값들을 (n,l,m) 방식으로 (1,0,0), (3,2,-1), (2,1,0)과 같이 나열하여 표시하기도 하지만, 앞서 설명한 바와 같이 l값 대신 기호를 사용하고 값은 아래 첨자로 붙여서 다음과 같이 표시하는 것이 더 일반적이다.

(1,0,0) → 1s0                 (3,2,-1) → 3d-1      (2,1,0) → 2p0

한편 l값이 0인 경우 m값은 자연히 0만 가능하기 때문에 s-오비탈의 경우에는 m값을 나타내는 아래 첨자를 생략하는 것이 보통이다. 

한편 세 가지 양자수 사이에 지켜져야 하는 관계를 고려하면 실제로 가능한 원자 오비탈들은 다음과 같은 것들로 제한됨을 알 수 있다. 

세 가지 양자수에 의하여 구별되는 원자 파동 함수를 원자 오비탈이라 부른다.

n	l	오비탈 표시	ml	오비탈 수	껍질(Shell)
1	0	1s	0	1	K
2	0	2s	0	1	L
	1	2p	-1, 0, 1	3
3	0	3s	0	1	M
	1	3p	-1, 0, 1	3
	2	3d	-2, -1, 0 , 1, 2	5
4	0	4s	0	1	N
	1	4p	-1, 0, 1	3
	2	4d	-2, -1, 0 , 1, 2	5
	3	4f	-3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3	7

표 1 세 가지 양자수들 사이에 가능한 관계들.

표 1에는 수소 원자에서 처음 네 에너지 준위에 포함된 궤도함수들의 양자수들 사이의 관계를 정리하여 나타내었는데 특히 주 양자수가 동일한 오비탈들의 묶음을 주-껍질(Shell)이라고 부르며 가장 안쪽의 전자껍질부터 K, L, M, N, ... 의 기호로 표시함을 보여준다.

또한 표에 나타낸 오비탈의 수는 그림 2, 3, 4에 각각 3가지, 5가지, 7가지의 다른 배향과 모양을 보여준 이유는 바로 자기 양자수 m_l값의 수와 같음을 알 수 있게 한다.

[Chemistry/General Chemistry] - [원자의 구조와 주기성] 원자 내 전자의 상태 - 1부

[Chemistry/General Chemistry] - [원자의 구조와 주기성] 원자 내 전자의 상태 - 2부