[일반물리학실험]만유인력 하의 궤도 운동 1부

실험 목적

1. 인공위성의 초기 조건(위치, 속도)을 이용하여 지구의 주위를 궤도 운동하고 있는 인공위성의 전 궤도를 예측해본다.

2. 궤도 운동에서 각운동량 보존 법칙과 케플러 제 2법칙이 성립함을 확인하고, 탈출속도를 계산해 본다.

 

실험 이론 및 원리

1. 서론

우리는 만유인력과 인공위성에 대해 배우지만, 너무 광대한 범위에서 일어나는 것들이기 때문에 사실상 잘와 닿지 않는다. 본 실험에서는 광대하게 넓은 범위를 일정한 비율로 줄여 모눈종이에 표시해본다. 따라서 이러한 과정을 통해 인공위성의 운동을 한 눈에 볼 수 있으며 직접 인공위성의 궤도, 각운동량 보존, 케플러 제 2법칙, 탈출속도를 구해보고 비교할 수 있다.

 

2. 만유인력 하의 궤도 운동

지구와의 거리 r만큼 떨어져 있는 인공위성이 지구를 중심으로 원 궤도 운동을 한다면 인공위성의 순간속도 방향은 운동방향의 접선방향이다.

 

어떤 시점에서 시간이 Δt만큼 지나면 인공위성의 속도는 바뀌게 되는데, 운동량-충격량의 원리에서

의 관계가 성립한다. 

방향은

의 방향, 지구 중심이다.

 

이 때 작용하는 힘은 만유인력으로서,

(G=6.673×10-11N㎡/㎏2, M: 지구의 질량, m: 인공위성의 질량)이다.

따라서,이고, 

인공위성이 움직인 변위이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(1)

 

인공위성이 속도로 운동하다가 만큼의 속도변화가 있었다면 다음 구간에서의 속도 , n=1,2,3,...임을 알 수 있다. 

따라서 n번째 구간에서의 인공위성의 위치는 다음과 같은 관계식을 갖는다.

(2)

n=1,2,3,...

(1)과 (2)에서이다.

여기에 만유인력 상수 G와 M=5.9736×1024㎏, t=300sec로 계산된 scaling factor를 대입하면 구간마다 위성의 변위는 다음과 같다.

 

(3)

 

3. 각운동량 보존 법칙과 케플러 제 2법칙

먼저, 선운동량이인 입자가 xy평면 위를 움직일 때, 원점 O에 대한 입자의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

 

 

따라서 각운동량의 크기 l = mvrsinθ이다. 이 때, 각운동량 보존의 법칙은 크기가 있는 물체에 외부의 힘이 작용하지 않거나 작용하더라도 외부 힘의 모멘트의 합이 0이라면, 물체의 전체 각운동량은 보존된다는 법칙이다.

 

케플러의 제 2 법칙은 면적속도 일정의 법칙이라고도 하며, 행성과 태양을 연결하는 선분은 같은 시간 동안 같은 면적의 궤도면을 휩쓸고 지나간다는 법칙이다. 이 법칙은 각운동량의 보존법칙과 완전히 동등하다.

 

3. 인공위성 탈출속도

물체를 어떠한 속도로 위로 쏘아 올렸는데 지구로 되돌아오지 않고 계속 위로 운동하여 이론적으로 무한대에서만 정지한다. 이 속도를 지구 중력장에서의 탈출 속도이라고 한다. 

계의 역학적 에너지 E = K + U(K: 운동에너지, U: 위치에너지)에서, 인공위성이 지구에서 탈출했을 때 총 역학적 에너지는 0이 된다. 

만유인력에 의한 위치에너지 U = -GMm/R, 인공위성의 운동에너지 K=½mʋ2이므로 탈출속도 ʋ는 다음과 같다.

E = K+U = ½mʋ2 – GMm/R = 0

실험 기구 및 시약

1. 실험 재료

1) 모눈종이, 자, 각도기

실험 방법

1. 실험 과정

① 모눈종이의 하단 중간정도를 중심으로 잡아 평행선 r0를 긋고, 끝점에서 수직하게  를 잡는다. 이 점이 5분 후의 위성의 위치다.

②의 끝 점과 r0를 연결하여 길이를 측정한다. : r1의 길이 측정

③ r1 위에 끝점에서부터 중심방향으로= 4.10×105/ro2 만큼 떨어진 곳에 점을 찍고, r0에서 그 점까지 연결한다.

실험원리의 (2)번식에 의해 이 벡터는을 의미한다.

④ r1의 끝점이의 시작 위치가 되게를 평행 이동 시킨다.

이 점은 그 다음 5분 후의 위치이다. 그리고의 끝점과 O를 연결하고 길이를 측정한다 : r2 길이 측정

⑤ 궤도파악을 위해 실험방법 ③과 ④를 반복한다. 이 때, Fig1에서 보듯이 rn과가 초기와는 달리 수직이 아님을 주시하라.

⑥ 지구의 반경이 6371 km임을 명심하여 자신이 그린 궤도가 closed(원, 타원)되어 있는지, 탈출(포물선, 쌍곡선) 혹은 추락인지 정확히 구분하여 설명해보자.

⑦ 각자의 궤도에 대하여 지구 중심에 대한 위성의 각운동량이 변화 여부와 이유를 설명해보자.

⑧ Kepler의 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙을 확인하고 결과를 설명해보자.

⑦ 지구의 10 km 상공에서 원운동을 하기 위한 속도와 지표에서 탈출하기 위한 속도를 계산해보자.

⑧ Scaling factor= 4.10×105/r2 을 유도해보자.

주의 사항

궤도를 잘 그리기 위해서는 궤도의 중요한 부분이 종이에 잘 나타나도록 거리의 scale을 조정해야한다. 모눈종이에서의 1 mm가 실제거리 4.44 x 104 m로 잡는다.

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