[창의공학설계]피타고라스 정리, 원주율, 원의면적, 각도 측정, 좌표계 측정

실험 목적

1. 창의공학설계 실험실의 실험 장비를 사용할 수 있다.

2. 창의공학설계 실험실의 실험 장비의 안전 수칙을 설명할 수 있다.

3. 직각, 극, 원통, 구 좌표계에 대한 개념을 설명할 수 있다.

4. 직각, 극, 원통, 구 좌표계의 예를 들 수 있고 좌표값을 측정할 수 있다.

실험 장비

1. 실험 재료

1) 5m 줄자 1개, 30㎝ 삼각자 1세트, 버니어 캘리퍼스 1개

2) 10㎝ x 10㎝ x30㎝ 목침 1개, 60㎜Φ 길이 1m PVC 파이프 1개, 360도 각도계 1개

3) 낚시줄 1m, 네임펜 1개, A4 1㎜ 격자 모눈종이 1장

실험 방법 및 결과

1. 피타고라스 정리 측정으로 확인하기

30㎝ 직각 삼각자 세트로 피타고라스 정리를 실험으로 확인하라. 직각 삼각형의 3변의 길이 a, b, c(빗변)를 측정하고 a2 + b2 = c2 가 됨을 확인하라. 상대오차가 몇 %이며 오차원인은 무엇이지 논의하라.

 

a(대각선 길이) = 41.4㎝	a2 = 1713.64
b = 35.9	b2 = 1288.81
c = 20.8	c2 = 432.64

b2 + c2 = 1721.45

상대오차 = l(측정값-이론값)l/측정값×100 = (1721.45-1713.64)/1713.64×100 = 4.3%

 

직각삼각자가 완벽한 직각이 아니였던 것 같다.끝부분이 조금 깍인 삼각자를 이용했는데 이를 직각이라고만 볼 순 없을 것 같다. 또한 측정기구의 오차도 생각해 볼 수 있는데 측정할 때 줄자로 측정하였는데 줄자의 끝에서 끝으로 잴려고 해도 휨, 흔들림 때문에 정확한 길이를 재기가 어려웠고 근사치를 사용하였다. 이런 과정에서 생긴 오차가 4.3%정도로 나타난 것 같다.

2. 원주율 측정

60㎜Φ 길이 1m PVC 파이프에 낚시줄로 둘레를 한 바퀴 감고 네임펜으로 마킹 후 원 둘레 l 를 측정하라. 버니어 캘리퍼스로 원통의 지름 a을 측정하라. 이 두 값으로부터 원주율 π를 구하라. 이미 알고 있는 원주율과 비교하여 상대오차를 구하고 오차원인을 분석하라.

l = 19.1㎝

원통의 지름 = 5.9㎝

r = 2.95㎝

π = l/2r = 19.1/5.9 = 3.237288... (π=3.1415...)

상대오차 = l(측정값-이론값)l/측정값×100 = (3.237288-3141592)/3.141592×100 = 3%

 

생각보다 결과는 정확하게 나온 것 같다. 오차의 원인은 아마 원통이 완벽한 원통이 아닐 수도 있을 것이며 낚시줄을 정확하게 수평으로 놓아 길이를 쟀는지 알 수 없다. 또한 낚시줄의 길이를 잴 때 완벽한 직선으로 낚시줄이 놓여 지지 않았을 수도 있다.

3. 원의 면적 측정

60㎜Φ 길이 1m PVC 파이프를 모눈종이 위에 세우고 둘레를 따라 선을 그려라. 이렇게 그려진 원의 면적을 모눈종이 작은 정사각형 칸수로 세어 구하라. 원 둘레 경계에 걸린 사각형은 정사각형의 절반 면적으로 근사화하라. 원의 면적 공식으로 구한 결과와 이 결과를 비교하고 오차 분석을 하라. 주의:PVC 파이프가 길이방향에 대하여 직각으로 잘려 있는지 미리 확인하라.

 

원의 넓이의 근삿값을 구하는데 사용한 모눈종이

 

모눈종이에 의한 근사화한 원의 면적 : 28.825㎠

반지름에 의한 원의 면적 : (2.95)2 = 27.339㎠

반지름은 2.95로 측정

모눈종이의 근사화한 면적과 반지름에 의한 면적의 상대오차

상대오차 = l(측정값-이론값)l/측정값×100 = (28.825-27.339)/27.339×100 = 5.43%

 

모눈종이의 경우 0.25㎠을 중심으로 보조선을 그은 다음 수를 세아리고 선의 위치가 격자의 30%가 될 땐 3개를 하나로 50%가 될 땐 2개를 1개의 완전한 사각형이라고 보았다. 이때 원안으로 완전히 들어온 사각형의 경우 97개, 일부만 칠해진 경우는 18.3개가 놔왔는데 이를 계산하면 115.3개, 사각형 하나는 0.25㎠이였기 때문에 약 28.825㎠라는 값을 얻을 수 있다.

 

오차의 원인은 분명하게 눈대중으로만 넓이를 가름했던 것에서 시작되었을 것이다. 분류를 해서 계산하였더라도 오차는 생겼을 것이며 실제면적보다 크게나온 것으로 보아 아마 일부만 들어있는 사각형의 넓이를 좀 더 크게 계산한 것 같다.또한 연필로 선을 그을 때 완벽하게 안쪽으로 돌려서 그렸는지도 알 수 없다.

4. 각도 측정

1) 평면각도 측정

60㎜Φ 길이 1m PVC 파이프에 낚시줄로 둘레를 한 바퀴 감고 네임펜으로 마킹 후 원 둘레 l 를 측정하라. 이 둘레를 반지름 r 로 나누어 한 바퀴에 해당하는 각도를 호도법으로 구하라. 2π 와 얼마나 다른지 오차분석을 하라. 각의 정의는 각 θ가 바라 본 호의 길이 l 나누기 원의 반지름 r이다 즉 θ=l/r 이다. 둘레의 4등분을 측정하고 이 값을 반지름 r 로 나누어 90도에 해당하는 호도법 각을 측정하라. π/2 와 얼마나 다른지 오차분석을 하라. 임의 길이의 호에 대하여 각을 구하라.

 

이론값 : 2π = 6.2832 rad

파이프의 둘레 : 19.1㎝

θ = l/r = 19.1/2.95 = 6.474576... rad

상대오차=l(측정값-이론값)l/측정값×100 = (6.47-6.28)/6.28×100 = 3%

90도에 해당하는 호도법 각 측정

 

이론값 : π/2 = 1.5708rad 측정값 : 6.47/4 = 1.6175

상대오차 : (1.6175-1.5708)/1.5708 = 2.973%

 

원주율에서 반지름과 둘레의 관계를 실제로 해본 것은 처음인 것 같다. 아마 오차는 파이프에 수평으로 감지 않았거나 네임펜으로 칠할 때 정중앙에 체크하지 않은 부분에서 오류가 생긴 것 같다.

 

2) 입체각도 측정

농구공 위에 60㎜Φ PVC 파이프를 세우고 파이프 원주를 따라 네임펜으로 농구공 표면에 마킹하라. 이 원의 넓이 S를 구하고 이 값을 농구공 반지름 제곱 r2으로 나누어 농구공 중심과 파이프 원주가 만드는 꼬깔의 입체각도 θ ≡ S/r2 를 구하라.

θ ≡ S/r2 = 28.72/139.45 = 0.205

 

측정치가 잘못된 듯 한 인상을 받았다. 실험 기록지에는 분명 r의 근사치로 11.8을 적어놨는데 0.2rad면 14도 정도 되는데 이는 실험치보다 작게나온 각일 것 같다는 생각이 든다. 실험 당시 rad의 개념을 정확하게 몰라 실험값에 대해 그대로 넘겼던 것이 화근이 되어 측정값에 대한 의문이 들게 되어 상당히 안타깝다.

 

5. 좌표계 측정

1) 직각 좌표계 측정

10㎝ x 10㎝ x 30㎝ 목침을 눕혀 놓고, 아래 쪽 모서리를 원점으로 잡고 가로, 세로, 높이를 각각 x, y, z 좌표로 대응시키고 직각좌표계를 설정하라. (주의: 꼭 오른손계로 설정하라.) 즉 x → y 회전시키면 오른나사 진행 방향을 z 축으로 잡아라.

목침의 8개 꼭지점의 좌표를 자로 측정하여 (x1, y1, z1)형태로 기록하라. 목침의 임의 표면 3 곳을 마킹하고 그곳의 직각좌표를 구하라. 직각좌표계는 목침과 같이 구조가 직육면체 형태에 대하여 유용하다.

 

검은색으로 별을 표시한 다음 측정

9.6㎝×9.6㎝×30㎝

 

8곳의 좌표

(0,0,0), (9.6,0,0), (9.6,9.6,0), (0,0,30)

(9.6,0,30), (0,9.6,0), (0,9.6,30), (9.6,9.6,30)

 

임의로 표시한 세곳의 좌표

a(9.6,4.3,10.5) b(5.2,4.8,30) c(9.6,0,13)

 

2) 극 좌표계(2차원) 측정

360도 각도기에서 중심을 원점으로 중심에서 피측정점 까지의 거리를 r 로, 0도 각도를 x 축으로 잡고 x축에서 반시계 바늘 방향으로 각도 θ로 정하여 극좌표계(polar coodinate)를 설정하라. 각도기의 임의점 3 곳에 대하여 극좌표를 구하여 (r1, θ1) 형태로 기술하라. 극좌표계는 레이다 화면, 안테나 방사 패턴과 같이 거리와 방향으로 위치 확인이 용이한 경우에 유용하다.

임의로 설정한 점의 좌표

a(4.8㎝,85°)

b(5.8㎝,195°)

c(2.9㎝,230°)

 

3) 원통 좌표계 측정:

60㎜Φ 길이 1m PVC 파이프를 실험대 위에 세우고 원통의 중심선의 한 가운데(실험대에서 위로 50㎝ 위치의 원통의 중심)를 원점으로, 원점에서 임의의 한 수평방향을 x 축으로 잡아라. 이 x 축을 기준으로 원통의 둘레를 따라 반시계바늘 방향으로 돌아가는 각도를 Φ로, 원점에서 원통 중심선의 위 방향을 +z 축으로 잡아서 원통좌표계를 설정하라. PVC 파이프의 바깥 둘레의 임의의 3곳을 표시하고 이 3곳의 원통좌표값를 각각 구하고 (r1, Φ1, z1) 형태로 기술하라. 각도 측정 시 낚시줄을 이용하라. 원통좌표계는 튜브와 같이 원통형 구조를 나타내는데 유용하다. 예를 들면 광섬유, 선광원, CT 문제에 유용하다.

a(3㎝, π/3rad, 2.3㎝)

b(3㎝, π/9rad, 7.4㎝)

c(3㎝, 0rad, -9.3㎝)

 

4) 구 좌표계 측정

농구공에 대하여 중심을 원점으로, 원점에서 측정점까지의 거리를 r로, 수평의 임의 한 방향을 x축으로, 수직 방향을 z축으로 정하고 네임펜으로 공표면에 표시하라. x 축에서 수평으로 구 둘레를 반시계 방향으로 돌아가면서 측정점까지의 각도를 Φ로 잡고, z 축에서 수직으로 구 표면를 따라 돌아내려오면서 측정점까지의 각도를 θ로 잡아서 구좌표계를 설정하라. 농구공 표면의 임의의 3곳을 표시하고 이 3곳의 구좌표값를 각각 구하고 (r1, θ1, Φ1) 형태로 기술하라. 구좌표계는 공과 같이 구형 구조를 나타내는데 유용하다. 예를 들면 원자모형, 점광원, 무게중심 문제에 유용하다.

a(11.8㎝, 23°, 70°)

b(11.8㎝, 37°, 25°)

c(측정하지 못했습니다.)

모형구의 반지름 : 26.2㎜

임의의 세점 : (26.2, 1.14, 1.11) (26.2, π/2, π/2) (26.2, 0, π)