[유체역학실험]관로 마찰 실험 1부

실험 목적

저수조의 물을 펌프를 이용하여 고수조로 끌어올린 다음 그 유량을 관내에 흐르게 하여 직관에서 나타나는 주 손실은 마찰계수를 구함으로서 찾고, 엘보우 관, 급 축소-급 확대관에서 나타나는 부 손실은 비례상수 K를 구함으로서 알아본다. 마지막으로 벤츄리와 오르피스, 노즐관 등에서 토출계수를 구하여 관을 통과하면서 얼마나 손실이 있는 지를 알아본다. 주 손실과 부 손실을 구하는 과정에서 베르누이 방정식과 유체의 기본적인 개념들을 이해하는 것을 목적으로 한다.

실험 이론 및 원리

1. 관내 유동의 이론적 고찰

관내의 유동은 벽에서 점성에 의해 경계층이 발달되어 관의 중심으로 성장하게 된다. 이러한 경계층이 관의 중심까지 성장하게 되면 이 후에는 관내의 유동의 속도 분포가 더 이상 변화하지 않는다고 가정하게 되는데 이를 "완전히 발달된 유동(fully developed flow)" 이라고 부른다.

입구에서부터 완전히 발달된 유동이 발생하는 위치까지의 거리를 관 입구 길이(entry length)라고 한다. 관의 직경이 d 인 경우, 층류 유동인 경우, 층류 유동인 경우에서 입구길이는 약 60d 근처이고 난류에서는 대략 10d 와 40d 사이 정도로 입구에서의 유동 조건에 따라 차이가 있다. 이러한 경계층의 성장의 벽 근처에서의 속도를 감소시키게 되고 연속 방정식을 만족시키기 위해 관 중심에서의 유동 속도는 증가하게 된다.

관내의 유동을 비압축성, 정상 유동으로 가정하고, 관내의 중심에 위치를 유선에 베르누이 방정식을 적용하면 후류로 가면서 속도 분포의 형태가 포물선형 또는 로그함수 형이 된다. 일반적으로 관내의 유동에서 층류에서 난류로 천이가 발생되는 레이놀즈수는 관 직경을 특성 길이로 선택하면 약 2300 정도이다. 이는 입구의 난류 강도, 조도 등에 따라 변화한다. 레이놀즈수가 증가하면 유동이 불안정해지면서 작은 교란이 생기면 쉽게 난류로 발전하게 된다. 관내를 흐르는 유동은 마찰(유체 점성에 의해 발생되어 영향이 관내부로 확산)로 인하여 모멘텀을 잃게 되며 결과적으로 압력 손실이 발생한다. 따라서 유체를 이송하기 위해 설치된 배관 시스템은 이러한 손실을 보상해 줄 수 있는 만큼의 에너지를 공급하는 동력원이 필요하게 된다. 대표적인 동력원은 펌프나 압축기와 같은 장치를 들 수 있다.

관에서 일어나는 손실을 일반적으로 크게 두 가지로 분류한다. 이는 에너지 손실의 주원인이 마찰에 기인하는 주 손실(major loss)과 형상에 의한 압력손실이 주원인이 되는 부 손실(minor loss)이다. 그러므로 주 손실은 길이가 긴 직관에서 주로 발생하고 부 손실은 배관의 이음들(fittings)과 밸브 등에서 발생이 되는 손실이다. 또한 배관시스템 에는 유량 측정 장치가 설치도기도 한다. 압력차를 이용한 차압 유량계에는 오리피스, 노즐, 벤츄리 유량계가 있다. 

이 유량계들은 유동의 상류와 최소면적 위치(throat)에서의 압력차를 측정하여 이론적인 비압축성, 정상 베르누이 방정식을 이용하여 이론적 유량을 계산한다. 실제 유량은 마찰 등으로 인하여 이론 유량과 차이가 발생되는데 이러한 이론 유량에 대한 실제 유량의 비를 토출계수(discharge coefficient) 라고 정의한다. 유량계 제조사는 표준유량을 사용하여 제작/생산한 차압 유량계의 토출 계수에 대한 성적표를 제시해야 한다.

관내 유동의 발달 과정

2. 관내 유동에서 마찰계수와 주 손실 관계

1) 마찰계수

완전히 발달된 관내 층류 유동에 대하여 고찰해 보자. 관심이 되는 관내 유동에 대해 미세 제어부피를 설정하고 여기에 선운동량 방정식과 유체 점성의 정의를 적용하여 속도 분포를 구하면 포물선형을 얻게 된다. 이렇게 얻은 속도 분포를 이용하여 유량을 표현하고 이것으로부터 압력강하에 대한 표현을 구하면

(L : 압력강하를 계산한 관 길이, Q : 유량, D : 관 직경)

주 손실은 관의 길이와 유체의 동압에 비례하고 직경에 반비례한다는 것은 실험적으로 증명이 되어 있다. 따라서 주 손실을 식으로 표현해 보면

V 는 관내의 평균속도이고 는 중력가속도이다. 비례상수는 관의 마찰정도에 따라 다르게 되므로 비례상수를 마찰계수라고 부르며 f로 표시하자. 그러면

이 된다.

 

2) 주 손실

입구와 출구가 각각 하나 뿐인 관에서 비압축성, 정상상태 에너지 방정식을 적용하면

u는 내부 에너지, z는 기준선에서 관 중심까지의 높이, 첨자2는 출구, 첨자1은 입구를 의미한다. 만일 입구와 출구에서의 속도를 1차원 유동으로 간주하면 윗 식 에서 적분이 간단히 표현된다. 결과를 mg로 나누고, 내부에너지 차이와 열전달을 비가역에 의한 에너지 손실로 보아, hm으로 놓게 되면

 

이 된다. 윗 식의 차원이 [L]이므로 hm을 수두손실이라 부른다. 이것이 관에서의 주 손실에 해당된다. 여기서 관 직경이 일정한 경우는 연속방정식에 의해 동압에너지가 같고 관이 수평인 경우는 위치에너지가 같게 되어 최종 주 손실은 압력강하로 나타낼 수 있다. 즉, 이런 특수한 경우에 식은

 

으로 간단하게 된다. 따라서 윗 식들에 의해 관심 대상이 되는 관의 두 점 사이에 압력 차이를 측정하면 관의 주 손실을 알게 되고, 이것을 이용하면 관의 마찰계수를 구할 수 있다.

3. 관이음에서의 부 손실

배관 시스템에는 관 이외에도 여러 종류의 부속품들이 연결되어 있다. 이를 통칭하여 관이음이라고 한다. 이러한 관이음에는 밸브, 곡관, 수축관, 급 축소관/급 확대관, 분지관, T관 등등이 있다. 이러한 이음을 유체가 통과하게 될 때에 에너지를 잃게 되는데 이런 에너지 손실의 주원인은 통과하기 전과 통과한 후의 유선의 형상이 박리와 난류 등으로 크게 달라지면서 발생하게 된다. 이런 에너지 손실을 부 손실이라 한다. 마찬가지로 실험적 검증에 의하면 이 부 손실들은 유동의 동압에 비례하는 것으로 알려져 있다. 따라서 부 손실을 식으로 표현하면

이 된다. 부손실의 차원도 [L]이다. 비례상수 K는 관이음의 손실계수를 의미한다.

앞 절과 유사한 방법으로 이음을 포함한 제어부피를 설정하고 비압축성, 정상에너지 방정식을 적용하여 정리하면 다음과 같은 결과식을 얻게 된다.

첨자1은 이음의 상류이고 첨자2는 하류이다. 같은 논리로 이음의 앞과 뒤에서 압력을 측정하게 되면 윗 식에서 hk가 구해지고 이것을 부 손실을 식으로 표현한 식에 대입하면 각각의 관이음에서 손실계수, K를 실험적으로 얻을 수 있다.

급 축소/급 확대관의 경우 급격한 단면 변화로 입구와 출구의 속도변화가 발생한다. 따라서 부 손실은 압력강하와 입출구의 속도의 함수로 표현된다.

4. 유량계의 토출 계수

관을 통과하는 유량을 간단히 측정하는 방법으로 차압 유량계가 많이 사용된다. 이런 차압 유량계의 종류는 오르피스, 노즐, 벤츄리형이 대표적이다. 이들은 모두 상류와 유체가 통과하는 최소 면적위치. 즉 목에서의 압력 차이를 측정하여 유량을 구한다는 점에서 같은 기본 원리가 적용이 된다. 유량계를 가장 쉽게 제작할 수 있는 형태는 오르피스 형태이다. 다음은 노즐, 그리고 벤츄리 순으로 제작이 점점 까다롭다고 할 수 있다. 그러나 오르피스를 통과하면서 발생하는 압력손실이 매우 크므로 이런 유량계는 압력 강하가 크게 문제가 된지 않은 배관 시스템에만 적용이 가능하다. 적은 에너지를 이용하여 유체를 이송시키는 배관 시스템에 유량계를 설치한다면 세 가지 형태 중에서 가장 압력강하가 낮으므로 벤츄리 형이 바람직하다.

수축-확산 도관을 통과하는 비압축성 유체를 고려해 보면, 먼저 상류의 관 면적을 A1, 목 면적을 A2라고 하자. 가는 비닐 튜브를 이용하여 각 위치에서의 압력을 다관 마노메터의 수두 높이, h1, h2를 기록한다. 관의 길이를 따라서 수두손실이 없다고 가정하면 비회전성 비압축성 정상상태 베르누이 방정식에 의해 다음과 같은 관계식으로 표현이 된다.

V는 각 단면에서의 평균 속도이다. 또한 연속방정식에 의하면,

V1A1 = V2A2 =Q

Q는 유량 혹은 토출량이다. 위 식을 이용하여 속도와 이론 유량 Qth를 구하면

실제로는 마찰에 의해 손실이 있고 단면에서의 속도도 균일하지 않다. 따라서 실제유량 Qa는 위에서 표현한 이론 유량보다 작게 된다. 이론 유량에 대한 실제 유량비를 유량계수 혹은 토출계수라고 하며 다음과 같이 정의한다.

토출계수는 유량계의 기하학적 변수, 접근속도, 레이놀즈 수, 압축성 효과에 따라 변화한다.

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