기체의 분자운동론

지금까지 기체의 특성 및 이 기체들에 적용된 이상기체 법칙에서 보았듯이, 기체 상태는 비교적 간단하고 다루기가 쉬워 이론적으로 많은 연구가 되어졌다. 어떤 하나의 법칙이 대부분의 기체에 적용된다는 사실은 기체는 공통의 어떤 성질을 가지고 있음을 의미한다. 기체가 갖는 공통의 성질을 이해하고 설명하기 위해, 분자 수준에서 이들의 행동을 탐구할 필요가 생겼고, 이러한 필요에 의해 기체의 분자운동론이 생겨난 것이다.

이것은 기체 입자의 운동에 의한 거동이 모든 기체의 경우 같다는 생각으로부터 출발되었다. 이와 같은 분자운동론은 기본적으로 기체법칙을 잘 설명하는데, 이것을 확장하면 액체와 고체의 일부 성질들도 설명할 수 있다. 분자운동론은 가장 성공적인 과학 이론 중의 하나로서 원자론과 거의 같은 위상을 차지할 정도이다. 기체의 거동을 분자수준에서 다룬 분자운동론의 몇 가지 가정들을 살펴보면, 분자수준에서 기체의 행동을 잘 이해할 수 있게 된다.

1) 기체는 끊임없이 불규칙한 운동을 하는 작은 입자 (원자나 분자)들로 구성되어 있으며, 이들은 다른 입자나 벽과 계속 충돌한다.

2) 기체 입자들 사이의 충돌은 완전탄성 충돌이다. 충돌과정 동안 전체 에너지는 변화가 없다.

3) 입자들이 차지하는 부피는 입자가 들어있는 용기의 부피에 비해 무시할 정도로 매우 작다.

4) 입자들 사이의 인력과 반발력은 무시할 정도로 작다.

5) 입자들의 평균운동에너지는 기체의 절대온도에 비례하고, 따라서 같은 온도에서 두 기체는 같은 평균운동에너지를 갖는다. 즉, KE = cT

여기서 KE는 평균운동에너지인, c는 비례상수, T는 절대온도이다.

이상기체 입자 (질량 m) N개가 한 모서리가 l인 정육면체 용기 속에 들어있는 경우를 생각해보자. 이 중에서 속도 v로 오른쪽 벽을 향해 진행하는 입자 하나를 주목해 보라 (그림 ). 이 입자가 좌우로 오가며 벽 A에 부딪힐 때마다 벽 A가 받는 힘은 Newton 법칙에 의해 다음과 같다.

여기서 mv는 운동량이고, t는 한 입자가 벽과 충돌한 후 다음으로 벽과 충돌할 때까지의 시간이다. 따라서 이 시간의 역수는 단위시간당 몇 번 충돌을 했느냐 하는 충돌회수에 해당한다. 즉, 힘은 단위시간당 운동량의 변화이다.

다시 쓰면,

힘 = 충돌 당 운동량 변화 x 단위시간당 충돌횟수

한 번 충돌할 때의 운동량 변화인 Δmv는 나중 값인 충돌 후의 운동량 (-mv)에서 처음 값인 충돌 전의 운동량 (mv)를 뺀 값이다. - 부호는 방향이 반대인 것을 의미한다.

Δmv = -mv-mv = -2mv

Δt는 다음 충돌 때까지의 시간이므로, 속도가 v인 입자가 길이 l 인 정육면체의 벽 A를 한 번 충돌 한 후 다음 충돌 때까지의 시간은 Δt = 2l/v

따라서, 한 입자가 여러 번 충돌했을 때의 평균 힘은

fav = -(-2mv)×(v/2l) = mv2/l

입자는 모두 N 개가 있고, 불규칙한 직선 운동을 하므로 어떤 벽과도 충돌할 수 있다. 따라서 세 좌표축 중 하나만을 고려해 A 벽과의 충돌만을 생각하면, A벽과 충돌하는 입자 수는 N/3이 된다. 한 벽면 A 가 받는 힘은,

여기서 ,은 평균속도이고, 또한 압력은 단위면적당 힘이므로 A면에 작용하는 압력은,

즉,

여기서 Al = V 이다. 분자운동론의 가정 5를 적용하면,

이제 n 몰의 기체에 이상기체 법칙을 적용시키면,

N = nNA

PV = n2/3NAcT = nRT

2/3NAcT = RT NAcT = 3/2RT

1 몰 (NA 개) 기체의 평균운동에너지는 3/2RT와 같다.

여기서 k=R/NA는 입자 한 개당 기체상수로 Boltzmann 상수라 한다.

이 식의 양변에 1 몰의 개수인 Avogadro 수를 곱해주면, mNA는 M 인 몰 질량에 해당하는 값이 된다.

이 식으로부터 기체의 평균제곱근 속력 (root-mean-square speed)을 얻을 수 있다.

기체의 평균제곱속력의 제곱근은 절대온도의 제곱근에 따라 증가하는 것을 알 수 있는데, 이는 기체가 크고 무거울수록 분자운동은 더욱 느려지기 때문이다.

기체 입자들의 운동 속도는 넓은 범위에 걸쳐 분포된다. 그 분포 범위는 온도가 증가함에 따라 더욱 넓어지고 속력은 더 증가한다. 그림은 서로 다른 온도에서 기체의 속력 분포를 나타낸다. 주어진 온도에서 분포곡선은 어느 속력으로 운동하는 분자의 수를 알려준다. 각 곡선의 봉우리는 가장 잦은 속력 (most probable speed), 즉 가장 많은 분자가 갖는 속력을 나타낸다.

더 높은 온도에서의 가장 잦은 속력은 더 낮은 온도에서의 가장 잦은 속력보다 크다는 점을 유의해서 보아라. 더구나 온도가 증가함에 따라 봉우리는 오른쪽으로 이동하면서 곡선은 더욱 넓어지며 평평해진다. 이는 온도가 증가함에 따라 많은 분자들이 더 큰 속력으로 운동하고 있음을 뜻한다. 온도, 압력, 부피, 양 같은 변수들의 변화에 따른 기체들의 운동을 가상 실험을 통해 눈으로 직접 확인하게 해주는 site가 있어 여러분에게 소개한다.